Una fiaba matematica

Barry Mazar, dell’Università di Harvard ci racconta una fiaba matematica in questo video di Numberophile.

Un re ormai anziano, ha due figlie e vuole dividere le sue terre alle due figlie in parti uguali. Chiede al suo consigliere “Consogliere, ho due figlie e 4 lotti di terra che vorrei suddividere equamente tra le mie due figlie, mi aiuti! I miei ispettori  mi dicono che le terre che possiedo sono fatte così. Un primo terreno è un triangolo con un angolo retto”.

Il consigliere dice “Ah! Avete una terra a triangolo retto!” “Si.” Dice il re. “Inoltre possiedo un’altra terra dalla forma quadrata il cui lato è il lato più lungo del triangolo, e le altre due terre sono entrambe dei quadrati il cui lato è lungo quanto gli altri due lati del triangolo.”

Il consigliere dice “Oh…Mio re, si tenga una parte di terra per se: la terra a forma di triangolo, poi dia la terra quadrata lunga quanto il lato del triangolo più lungo ad una figlia e poi dia le altre due alla seconda figlia, così saranno perfettamente uguali.”. “E’ facilissimo.” Dice il re, e fa per uscire dalla stanza, ma si ferma all’improvviso. “Consigliere! Non vi ho detto nulla sulla lunghezza dei lati!”. Il consigliere dice. “Non si preoccupi, per come stanno le cose se anche tutte le lunghezze raddoppiassero le aree sarebbero tutte quattro volte più grandi, ma con le stesse proporzioni. Se i lati triplicassero le aree sarebbero 9 volte più grandi con le stesse proporzioni. Cambiando  le dimensioni delle sue figure di un qualsiasi fattore le aree cambiano con il quadrato di quel fattore. Questo è il principio delle similitudini e degli ordini di grandezza.”

“Meraviglioso!” Dice il re, ma ancora prima di uscire dalla stanza dice ” Ma non le ho detto niente sugli angoli del triangolo.” “Nessun problema.” Dice il consigliere. “Si tratta del teorema di Pitagora: non ha importanza sapere quali siano gli angoli del triangolo, l’importante è che uno sia un angolo retto.” Il re se ne va soddisfatto.

Il giorno dopo il re torna dal consigliere, molto affranto. “I miei ispettori mi dicono che le mie terre non sono dei quadrati, dicono che hanno delle forme a macchia. Oltre al triangolo di terra, tutte le altre terre sono simili tra di loro per forma, ed hanno un solo lato diritto della lunghezza dei tre lati del triangolo di terra. Ma la forma delle loro terre non è un quadrato, è una macchia irregolare! Che cosa faccio ora?” Chiede il re preoccupato.

Il consigliere risponde. “Nessun problema. Faccia la stessa cosa: dia la terra più grande ad una figlia e le due più piccole all’altra ed avranno la stessa quantità di terra.” Il re è stupefatto “Non ha davvero importanza la forma delle macchie, basta che siano simili?” “Si” risponde il consigliere. “Come si chiama questa regola?” “Si chiama teorema delle macchie di Pitagora”. “Per ogni macchia esiste un teorema apposta?” Chiede il re. “Si.” risponde il consigliere. “Non solo: se conosce il teorema delle macchie di pitagora per una macchia lo conosce per tutte le macchie”. “Ma come è possibile?” Chiede il re stupefatto.

Il consigliere risponde. “Immagini di avere una macchia unitaria il cui unico lato dritto ha lunghezza 1. Ora immaginiamo che il nostro triangolo abbia il lato più lungo di una certa lunghezza – c -, e gli altri due lati di lunghezza – a, b -. Se chiamiamo l’area della macchia unitaria di lato uno – A – vuol dire che le aree delle macchie del nostro triangolo saranno – c^2 A – per la macchia dal lato lungo e – a^2A – b^2A – per le altre due macchie. Quindi per il teorema di Piatagora – c^2A = a^2A + b^2A – e semplificando per – A – viene – c^2 = a^2 + b^2 -. Non importa quale sia l’area della macchia unitaria – A -, il teorema è sempre valido.”

Il re si allontana abbastanza soddisfatto. Il terzo giorno ritorna e dice ” è molto interessante quello che mi ha detto ieri, ma potrebbe mostrarmi il teorema delle macchie di Pitagora per alcune macchie, così che lo sappia per tutte le macchie?”. Il consigliere dice ” Quindi vorrebbe che le disegnassi un triangolo retto dai lati -a, b, c – e quindi una macchia dal lato lungo del triangolo – c – ed altre due macchie simili alla prima con i lati – a, b – e poi mostrarle che l’area della prima macchia è uguale alla somma delle altre due.” Il re interviene dicendo “Beh,…si, questo potrebbe essere un po’ difficile da fare”.

Il consigliere dice. “Proviamo così, disegniamo il primo triangolo retto, poi dall’angolo retto tracciamo una linea retta verso il lato più lungo creando altri due triangoli retti più piccoli dentro il primo triangolo. Ci siamo!” “Dove siamo?” dice il re. “le ho disegnato le macchie come voleva: la macchia dal lato lungo – c – è lo stesso triangolo di partenza, le altre due macchie non sono che i triangoli più piccoli ricavati tracciando la line tra l’angolo retto ed il lato più lungo. Tutti questi triangoli sono degli angoli retti e sono simili, solo di dimensioni diverse, poichè hanno un altro angolo in comune oltre all’angolo retto, e quindi hanno tutti gli angoli in identici tra di loro. Non sono che delle macchie simili ed il rapporto tra le loro aree è evidente.”

La morale di questa storia è il fulcro di questa prova del teorema di Pitagora, ovvero la sua applicazione a diversi ordini di grandezza. Questa storia inoltre mostra come in alcune prove di concetti conosciuti spesso risiedano delle domande aperte non considerate fino a quel momento. Inoltre la capacità del consigliere di risolvere il dubbio del re disegnando una sola linea in un modo apparentemente fuori dalla logica del problema iniziale è un esempio di come a volte semplici soluzioni possano essere fuori dall’impostazione logica del problema affrontato.