Quant’è casuale il lancio di una moneta?

Il lancio di una moneta è considerato generalmente un fenomeno dal risultato casuale. Tuttavia la meccanica ci dice che se conoscessimo la velocità alla quale la moneta è lanciata dal pollice e a quale frequenza la moneta ruota in aria, sarebbe possibile sapere se cadrà con la stessa posizione dalla quale è partita o no. In questo video di Numberphile, il professor Persi Diaconis racconta come un lancio di una moneta non sia esattamente un evento casuale.

Consideriamo i due parametri, velocità e frequenza di rotazione in un grafico: ad ogni punto di questo grafico corrisponde una coppia di parametri di velocità di uscita e rotazione. Se entrambe la velocità di lancio (ovvero quanto in alto arriva la moneta) e la sua velocità di rotazione fossero abbastanza basse, la moneta non effettuerebbe alcuna rotazione, cadendo nella stessa posizione con la quale è partita.

In questo grafico (2:40 nel video) si può definire quindi una linea dalla forma di un iperbole al di sotto della quale tutti i punti corrispondono a coppie di parametri che non farebbero girare la moneta nemmeno una volta se utilizzati per lanciare la moneta. Allo stesso modo si possono definire diverse iperboli leggermente spostate l’una dall’altra che definiscono altre aree dentro le quale le coppie di parametri permetterebbero alla moneta di ruotare una volta, due volte, tre e così via. queste strisce di aree nel grafico sono molto sottili e ravvicinate, pertanto piccoli variazioni nei due parametri iniziali permettono di avere risultati diversi ed è quello che normalmente crea il risultato casuale di un lancio di moneta.

Il professor Diaconis ha applicato dati reali di lanci di moneta a questo modello per vedere quanto bene lo rappresenti. Registrando in certo numero di lanci misurando il tempo di volo, dal quale derivare la velocità iniziale, ed il numero di rotazioni è stato possibile determinare dove sono posizionati i veri lanci di moneta nel grafico precedentemente descritto. Prendendo questi parametri e calcolando le aree che corrispondono ai parametri che permettono alla moneta di ruotare un numero pari o dispari di volte, cadendo nella posizione iniziale o meno, è stato possibile osservare che il rapporto non è esattamente 50/50.

Esiste pertanto una probabilità del 51% che la moneta cada con la stessa faccia in alto con la quale è partita, considerando che la moneta venga raccolta esattamente alla stessa altezza dalla quale è stata lanciata e che i parametri di velocità e rotazione con i quali viene lanciata siano all’interno dei parametri medi considerati in questo studio.