MatemaGica e Image Processing: istruzioni per l’uso

Figura 9 - Prima riga: a sinistra, particolare di CT cerebrale. I dati sono contaminati dalla presenza di rumore; a destra, denoising dell'immagine secondo il modello di cui sopra con K grande: l'immagine risulta poco regolarizzata e contiene ancora molto rumore. Seconda riga: a sinistra, denoising con valore ottimale di K; a destra, denoising con K piccolo: l'immagine risulta eccessivamente regolarizzata e le strutture cerebrali sono andate quasi completamente distrutte.perse.

di Luca Calatroni
Editor: Federico Forneris
Revisori Esperti: Pierluigi Colli, Edoardo Provenzi
Revisori Naive: Silvia Licciulli, Nicola Ganci

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Negli ultimi decenni la ricerca matematica applicata all’elaborazione di immagini e computer vision ha sviluppato potentissimi modelli e algoritmi in grado di risolvere una vasta gamma di problemi frequenti in diverse discipline. Biologi, chimici, medici e anche artisti necessitano sempre più di modelli di trattamento immagini affidabili e attendibili specialmente nelle fasi di pre-processing dei dati da cui poi avviare la successiva analisi. Questo articolo presenta una visione ampia della disciplina, concentrandosi sull’impostazione matematica di base usata nella pratica per affrontare alcuni particolari problemi di Imaging.

Questo non è il solito articolo matematico
Parlare di matematica crea sempre un certo turbamento nei non addetti ai lavori. Forse per via del senso di riverenza che si prova per qualsiasi disciplina dai contorni astratti, forse per diffusi traumi liceali o, forse, per un semplice e genuino senso di ignoranza rispetto al fine di tale materia, sintetizzabile nella solita domanda: “sì, ma poi…a cosa serve?”. Eppure, volenti o nolenti, siamo circondati dalla matematica nel nostro quotidiano. La vediamo, la capiamo anche (forse), ma non lo sappiamo.

La società moderna, spesso definita “società dell’informazione”, potrebbe equivalentemente essere definita “società delle immagini”. Ai giorni nostri, le immagini sono infatti un potente e diffuso mezzo di comunicazione che veicola informazioni che descrivono il mondo fisico e reale che ci circonda in modo semplice e compatto. Negli ultimi decenni sono stati compiuti molti progressi in questo labirintico universo di immagini: nuovi apparecchi ne hanno facilitato l’acquisizione nei più svariati ambiti e si sono create dunque enormi quantità di dati richiedenti una corretta elaborazione ed analisi [footnote number=”1″ ]Aubert, G. and Kornprobst, P. (2006) Mathematical Problems in Image Processing: Partial Differential Equations and the Calculus of Variations, vol. 147, Springer Science + Business Media.[/footnote]. Ed è qui che la domanda posta poco prima trova una risposta: grazie a una corretta manipolazione matematica di questi dati, a una loro modellizzazione e ad un uso sapiente di strumenti di analisi matematica avanzata la matematica serve, anzi è fondamentale ogni volta che vogliamo rimuovere un qualsiasi tipo di imperfezione presente in un’immagine per ricavare informazioni che, ad una prima valutazione, ci sembrano perdute.

Alcuni esempi immediati di questi problemi nascono dal quotidiano. Quante volte scorrendo le foto delle nostre vacanze vorremmo ritoccarle per migliorarne la qualità? O ancora, osservando una nostra TC, non vorremmo forse essere in grado di individuare precisamente una qualsiasi anomalia? Infine, ripensando ai recenti esempi di maldestri lavori di restauro finiti sui giornali qualche tempo fa, pensate che un approccio formale e sistematico, insomma, un approccio matematico, non sia necessario?

Figura 1 - Alcuni problemi di Imaging. A: Fotografia con scarsa illuminazione; B: Fotografia sfocata con soggetti in movimento; C: Lesioni da sclerosi multipla su immagine TC; D: “Ecce homo”; E: “Ecce mono”.

Figura 1 – Alcuni problemi di Imaging. A: Fotografia con scarsa illuminazione; B: Fotografia sfocata con soggetti in movimento; C: Lesioni da sclerosi multipla su immagine TC; D: “Ecce homo”; E: “Ecce mono”.

 

Un tetrafarmaco
Prima di addentrarci in un formalismo matematico soft che ci permetta di comprendere meglio come un tipico modello di elaborazione di immagini viene formulato, vediamo quali sono le quattro grandi categorie di image processing in cui la maggior parte di tali problemi può essere raggruppata [footnote number=”1″ ]Aubert, G. and Kornprobst, P. (2006) Mathematical Problems in Image Processing: Partial Differential Equations and the Calculus of Variations, vol. 147, Springer Science + Business Media.[/footnote].

  1. Image denoising: in questa categoria l’obiettivo della ricostruzione è eliminare una sorta di interferenza presente nell’immagine, detta rumore, inteso come sovrapposizione di segnali indesiderati al segnale di interesse. Tipicamente, questo viene causato da problemi nella trasmissione del segnale (come nel caso di immagini mediche) o da una cattiva illuminazione nella scena. In presenza di rumore l’immagine presenta tipicamente un aspetto granuloso (Figure 1A e 2B) , ma può contenere veri e propri “vuoti” nel caso del rumore sale e pepe (Figura 2C) in cui, in modo aleatorio, una percentuale di informazioni nell’immagine viene completamente persa. Scopo del denoising è dunque rimuovere le interferenze nel segnale, ottenendo una versione dell’immagine definita e “ripulita” dal rumore, in cui tutte le strutture fondamentali sono state mantenute e il rumore eliminato.
Figura 2 - esempi di rumore nelle immagini. A: Rumore come interferenza di un segnale; B: Rumore gaussiano; C: Rumore sale e pepe.

Figura 2 – Esempi di rumore nelle immagini. A: Rumore come interferenza di un segnale; B: Rumore gaussiano; C: Rumore sale e pepe.

  1. Image deblurring: fanno parte di questa categoria i problemi in cui l’immagine considerata presenta oggetti dai bordi sfumati, non definiti. Un esempio è quello di immagini sfocate o che ritraggono oggetti in movimento (Figura 1B). L’obiettivo qui consiste nell’eliminare l’effetto “indistinto”, ridefinendo i contorni in modo marcato per ottenere un’immagine nitida. Seppur apparentemente simili ai problemi di denoising, i problemi di deblurring ne differiscono da un punto di vista matematico: nel primo caso il segnale acquisito risulta essere la sovrapposizione di un’interferenza al segnale originale, mentre in questo caso l’immagine acquisita non è nient’altro che una versione modificata, ma priva di interferenze, dell’immagine da ricostruire.
  1. Image inpainting: rientrano in questa categoria immagini in cui alcuni oggetti sono occlusi da altri o in cui elementi esterni all’immagine (testo, pieghe e/o parti sbiadite dovute all’usura) rendono l’informazione incompleta in intere regioni di dimensioni variabili… questo accade anche nelle immagini artistiche (Figura 3). L’inpainting è una sorta di processo di interpolazione attraverso il quale le informazioni presenti nella regione intatta dell’immagine vengono propagate all’interno delle regioni mancanti in modo coerente, garantendo attendibilità nella ricostruzione.

Figura 3 – Esempi di image inpainting. A: Inpainting su immagine usurata dal tempo; B: Inpainting = libertà; C: Inpainting per rimozione testo.

  1. Image segmentation: in questa categoria rientrano problemi aventi lo scopo di individuare specifiche regioni in una data immagine separandole tra di loro secondo particolari proprietà distintive (colore, intensità dell’immagine in scala di grigi, texture…). In Figura 1C vediamo evidenziata approssimativamente un’anomalia cerebrale dovuta a sclerosi multipla e caratterizzata da iperintensità in immagine RM: lo scopo è quello di catturare in modo preciso la lesione e ottenere risultati come quello riportato in Figura 4A. Moltissime discipline necessitano di una tale abilità: in ambito biologico e zoologico, ad esempio, essa è fondamentale per lo studio qualitativo e quantitativo di tratti distintivi specifici di alcune specie e non facilmente estraibili “a mano” (Figura 4B).
Figura 4 - Esempi di image segmentation. A: Lesione da SM individuata con image segmentation, cf. Figura 3; B: La balia nera è un particolare tipo di uccello contraddistinto dalla presenza di una caratteristica macchia bianca sulla fronte le cui dimensioni riflettono particolari comportamenti nel gruppo.

Figura 4 – Esempi di image segmentation. A: Lesione da SM individuata con image segmentation, cf. Figura 3; B: Una applicazione zoologica: la balia nera è un particolare tipo di uccello contraddistinto dalla presenza di una caratteristica macchia bianca sulla fronte le cui dimensioni riflettono particolari comportamenti nel gruppo.

La modellizzazione matematica: avvertenze e controindicazioni
Per comprendere meglio ciò che segue, è necessario stabilire fin da ora cosa intendiamo con il termine immagine digitale [footnote number=”1″ ]Aubert, G. and Kornprobst, P. (2006) Mathematical Problems in Image Processing: Partial Differential Equations and the Calculus of Variations, vol. 147, Springer Science + Business Media.[/footnote]. Essa non è nient’altro che il campionamento (o quantizzazione) di un’ideale immagine analoga rappresentante l’oggetto fisico nella sua totalità (come si suol dire in “matematichese”, nel continuo). Nella pratica ciò significa che i moderni apparecchi digitali trasformano l’immagine reale catturata in una sua versione digitale tramite la sovrapposizione di una griglia in cui ad ogni elemento che la compone è associata una particolare caratteristica, per esempio la sua luminosità media. Ogni componente di tale griglia è ciò che comunemente viene chiamato pixel.

Figura 5 - Il processo di campionamento compiuto dagli apparecchi digitali trasforma l'immagine naturale in un'immagine quantizzata, in cui le informazioni sono “raggruppate” in elementi che compongono una griglia. Fortunatamente, oggigiorno la risoluzione tipica di un'immagine digitale ovvero la “finezza” della griglia è ben più alta dell'esempio in figura che è solo puramente illustrativo.

Figura 5 – Il processo di campionamento compiuto dagli apparecchi digitali trasforma l’immagine naturale in un’immagine quantizzata, in cui le informazioni sono “raggruppate” in elementi che compongono una griglia. Fortunatamente, oggigiorno la risoluzione tipica di un’immagine digitale ovvero la “finezza” della griglia è ben più alta dell’esempio in figura che è solo puramente illustrativo.

Il contenuto di un’immagine in ogni pixel è dunque descritto dalla sua intensità: nel caso di immagini in scala di grigi (vedi Figura 6) un solo valore tra 0 (nero) e 255 (bianco) è sufficiente, mentre nel caso di immagini a colori è richiesto un set (vettore) di tre valori di questo tipo, uno per ciascun -canale- (rosso, verde e blu).

Figura 6 - Sinistra: immagine in scala di grigi. Centro: rappresentazione del dettaglio nel riquadro rosso come superficie 3D: il valore della luminosità è rappresentato come altezza sul piano xy raffigurante il riquadro di riferimento. Destra: matrice dei valori numerici di luminosità dei pixel che formano il piccolo particolare (riquadro blu) nell'immagine di sinistra.

Figura 6Sinistra: immagine in scala di grigi; Centro: rappresentazione del dettaglio nel riquadro rosso come superficie 3D: il valore della luminosità è rappresentato come altezza sul piano xy raffigurante il riquadro di riferimento; Destra: matrice dei valori numerici di luminosità dei pixel che formano il piccolo particolare (riquadro blu) nell’immagine di sinistra.

Possiamo ora definire in termini matematici un’immagine I come una funzione definita su un dominio piano, la nostra griglia di pixel che chiamiamo G. Nel caso di immagini in scala di grigi, come già detto, vogliamo associare ad ogni pixel di G un solo valore corrispondente all’intensità media del pixel, pertanto la funzione I valutata in corrispondenza del pixel (x,y) (coordinata nel piano) avrà un singolo valore numerico I(x,y). In termini matematici, I è in questo caso una funzione scalare. Nel caso di immagini a colori, associamo invece ad ogni pixel tre diversi valori numerici ciascuno corrispondente all’intensità media del canale rosso (r), verde (g) e blu (b), rispettivamente. In questo caso la funzione I è una funzione vettoriale con componenti Ir(x,y), Ig(x,y) e Ib(x,y).

Data una qualsiasi immagine sappiamo ora come leggerla in termini matematici, seguendo quanto detto sopra. Questo però ancora non ci soddisfa, dal momento che vorremmo trovare il modo di incorporare nella stessa definizione di I le proprietà distintive di un’immagine generica.

Quali sono le strutture caratteristiche in un’immagine?
Cosa definisce un oggetto in un’immagine? La risposta è semplice: i suoi contorni. Possiamo pensare a un’immagine come ad un insieme di regioni contraddistinte da caratteristiche particolari (colori, texture…) e divise tra loro da contorni. Ogni possibile e affidabile metodo matematico di ricostruzione ed elaborazione immagini deve mantenere queste strutture fondamentali, oltre che, ovviamente, risolvere il problema per cui è stato invocato. Infine, è necessario che non vengano aggiunti alla ricostruzione nuovi elementi (artefatti) originariamente non presenti nell’immagine acquisita. Pensiamo ad un’immagine medica: da un lato vorremmo eliminare ogni fonte di interferenza che ne peggiora la qualità, ma d’altra parte non vorremmo, una volta che la ricostruzione è stata effettuata, eliminare strutture originariamente presenti né introdurne di nuove… Come potremmo in questo caso fidarci di una qualsiasi valutazione effettuata su tale immagine? Rischieremmo di non captare aree che sono andate perse nel processo di ricostruzione e/o di considerarne altre originariamente non presenti!

Matematicamente, la quantità da analizzare per lo studio di contorni e bordi nell’immagine I è il suo gradiente, legato alle variazioni spaziali dell’immagine nelle due direzioni orizzontale e verticale.

Figura 7 - lo spigolo che delimita la regione nera da quella grigia nell'immagine di sinistra non è nient'altro che un 'salto' della funzione I da un valore all'altro, come si vede nella rappresentazione di destra raffigurante I come superficie, cf. Figura 6.

Figura 7 – Lo spigolo che delimita la regione nera da quella grigia nell’immagine di sinistra non è nient’altro che un ‘salto’ della funzione I da un valore all’altro, come si vede nella rappresentazione di destra raffigurante I come superficie, cf. Figura 6.

Senza scendere troppo nel dettaglio, ci limitiamo a dire che definire funzioni che possano ammettere salti (discontinuità) nel gradiente è molto complesso da un punto di vista matematico. Insiemi di funzioni standard usati tipicamente nell’analisi matematica (spazi di Sobolev), non riescono purtroppo a rappresentare tale caratteristica nel nostro caso (immagini bidimensionali). Tali problemi vengono tipicamente formulati in uno spazio che possiede strutture matematiche basilari (si può parlare di distanze, per esempio) che risultano fondamentali per l’analisi matematica del modello considerato, ma che è in un certo senso più generale dei precedenti essendo in grado di modellizzare funzioni il cui gradiente può compiere salti. Esso è lo spazio delle funzioni a variazione limitata definite sulla griglia G, denotato normalmente con BV(G) [footnote number=”1″ ]Aubert, G. and Kornprobst, P. (2006) Mathematical Problems in Image Processing: Partial Differential Equations and the Calculus of Variations, vol. 147, Springer Science + Business Media.[/footnote] [footnote number=”2″ ]Ambrosio, L., Fusco, N. and Pallara, D. (2000) Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford University Press, Oxford.[/footnote].

 

Un rimedio unificato
Ora che la scenografia del nostro problema è pronta, quali sono gli attori di un generico problema di Imaging? Le quattro tipologie considerate hanno un intento comune: partendo da un’immagine danneggiata, non attendibile, si punta a ricostruire l’immagine vera, ovvero quella in cui il rumore è stato rimosso, i contorni sono stati ridefiniti, si sono recuperate informazioni perse e/o le diverse regioni sono state identificate. In termini matematici, questo tipo di problema è chiamato problema inverso ed ha la forma: calatroni_equation2dove I è l’immagine che vogliamo ricostruire, Iorig è l’immagine osservata e T è il processo che trasforma I in Iorig[footnote number=”1″ ]Aubert, G. and Kornprobst, P. (2006) Mathematical Problems in Image Processing: Partial Differential Equations and the Calculus of Variations, vol. 147, Springer Science + Business Media.[/footnote].

Figura 8 - Possiamo ricostruire il pupazzo di neve liquefatto a partire da ciò che ne rimane?

Figura 8 – Possiamo ricostruire il pupazzo di neve liquefatto a partire da ciò che ne rimane?

Una fondamentale caratteristica necessaria alla risoluzione di tali problemi è la loro buona positura, ovvero la garanzia che la loro soluzione esista, sia unica e -stabile- rispetto a piccole variazioni dei dati originali. Sfortunatamente, i problemi di Imaging sono spesso mal posti e rendono la ricostruzione dell’immagine difficoltosa… Per un esempio di problema mal posto nel mondo fisico si veda Figura 8.

Per risolvere questi problemi si ricorre tipicamente a metodi di regolarizzazione nei quali l’idea è quella di incorporare nel modello alcune informazioni conosciute a priori sull’immagine, come per esempio il suo tipico aspetto “a salti” (Figure 6 e 7) in modo da sfruttare informazioni aggiuntive che rendano il problema ben posto. La forma del problema ora cambia poichè non si ambisce più a risolvere il problema originale, ma si cerca piuttosto la soluzione di un problema regolarizzato che approssimi nel modo migliore possibile la soluzione del problema inverso originale, che ora si trasforma in un problema di minimizzazione di funzionali, in cui l’immagine I che stiamo cercando è la quantità che renda minima la somma:

calatroni_equationdove:

  • F(I,Iorig), chiamato termine di fedeltà, è una misura della differenza dell’immagine osservata Iorig dall’immagine ricostruita I: minimizzare questo termine, ovvero renderlo “il più piccolo possibile”, significa rendere il processo di ricostruzione attendibile rispetto ai dati in modo che la ricostruzione I rispetti le strutture fondamentali presenti in Iorig;
  • R(I) è il termine di regolarizzazione: esso racchiude informazioni specifiche inerenti alla struttura dell’immagine che vengono utilizzate per migliorare la qualità della sua ricostruzione;
  • K è un parametro che bilancia l’effetto della regolarizzazione con quello del termine di fedeltà. Valori grandi di K mantengono l’immagine ricostruita molto vicina a quella originale, limitando la regolarizzazione, mentre, al contrario, valori piccoli di K favoriscono la regolarizzazione, penalizzando l’attendibilità della ricostruzione rispetto ai dati originali, come rappresentato nel caso in Figura 9.
Figura 9 - Prima riga: a sinistra, particolare di CT cerebrale. I dati sono contaminati dalla presenza di rumore; a destra, denoising dell'immagine secondo il modello di cui sopra con K grande: l'immagine risulta poco regolarizzata e contiene ancora molto rumore. Seconda riga: a sinistra, denoising con valore ottimale di K; a destra, denoising con K piccolo: l'immagine risulta eccessivamente regolarizzata e le strutture cerebrali sono andate quasi completamente distrutte.perse.

Figura 9Prima riga: a sinistra, particolare di CT cerebrale. I dati sono contaminati dalla presenza di rumore; a destra, denoising dell’immagine secondo il modello di cui sopra con K grande: l’immagine risulta poco regolarizzata e contiene ancora molto rumore; Seconda riga: a sinistra, denoising con valore ottimale di K; a destra, denoising con K piccolo: l’immagine risulta eccessivamente regolarizzata e le strutture cerebrali sono andate quasi completamente distrutte, perse.

Ci ricolleghiamo a quanto detto prima sull’uso di funzioni a variazione limitata dicendo che, a partire da un famoso articolo di Rudin, Osher e Fatemi [footnote number=”3″ ]Rudin, L.I., Osher, S. and Fatemi, E. (1992) Nonlinear total variation based noise removal algorithms, Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 60, pp. 259–268[/footnote], i termini di regolarizzazione più utilizzati sono collegati alla cosiddetta variazione totale dell’immagine che non è nient’altro che una misura più generale del suo gradiente in grado di quantificare l’ampiezza dei salti di una funzione definita nello spazio BV(G) prima introdotto. Il moderno approccio variazionale utilizzato per risolvere i problemi di Image Processing ha alla base l’utilizzo della variazione totale e delle sue estensioni [footnote number=”4″ ]Chambolle, A. and Lions, P.-L. (1997) Image recovery via total variation minimization and related problems, Numerische Mathematik, vol. 76, pp. 167–188.[/footnote].

Traguardi, prospettive e ostacoli
In ognuna delle diverse categorie di problemi presentati sopra, si sono raggiunti negli ultimi anni successi strepitosi. Per avanzare anche solo di un piccolo passo è stato fondamentale il duro lavoro di interi gruppi di ricerca sparsi nel mondo che, sviluppando modelli matematici sempre più complessi e algoritmi numerici efficienti in grado di gestire il sempre maggior numero di dati provenienti da apparecchi molto sofisticati, sono riusciti a produrre risultati matemaGici come quelli raffigurati qua sotto nei casi particolari di denoising e inpainting.

Figura 10 - Moderni metodi di denoising hanno perfezionato la ricostruzione di immagini con molto rumore (sx.) riducendo l'effetto “acquerello” tipico di ricostruzioni basate sull'uso di funzioni a variazione limitata (c.). Nuovi modelli matematici più generali (variazione totale generalizzata [5]) riducono tale effetto rendendo la ricostruzione più liscia e meno artefatta (dx.).

Figura 10 – Moderni metodi di denoising hanno perfezionato la ricostruzione di immagini con molto rumore (sinistra) riducendo l’effetto “acquerello” tipico di ricostruzioni basate sull’uso di funzioni a variazione limitata (centro); nuovi modelli matematici più generali (variazione totale generalizzata [9]) riducono tale effetto rendendo la ricostruzione più liscia e meno artefatta (destra).

Figura 10 - Moderni metodi di inpainting possono catturare le varie simmetrie e strutture presenti nell'immagine non solo propagando le informazioni in prossimità dell'area dove si vuole compiere la ricostruzione (regione grigia nell'immagine centrale), ma tramite l'uso di un confronto con tutti i diversi patches che formano l'immagine [9]: un vero e proprio copia-incolla!

Figura 11 – Moderni metodi di inpainting possono catturare le varie simmetrie e strutture presenti nell’immagine non solo propagando le informazioni in prossimità dell’area dove si vuole compiere la ricostruzione (regione grigia nell’immagine centrale), ma tramite l’uso di un confronto con tutti i diversi patches che formano l’immagine [10]: un vero e proprio copia-incolla!

Ciononostante, i problemi e gli ostacoli che devono essere superati per compiere nuovi progressi in quest’area di ricerca sono davvero tanti e la matematica necessaria richiede strumenti sempre più elaborati ed evoluti. La posta in palio è però molto alta! Per esempio, nell’ambito dell’image segmentation, area che, come illustrato sopra, risulta fondamentale in ambito medico per la sua potenziale capacità di individuare in modo automatico e “istruito” (tramite, per esempio, l’uso di dizionari) specifiche regioni di interesse, i maggiori problemi sono legati alla segmentazione di immagini con scarso contrasto in cui, in sostanza, i confini fra le regioni di interesse non sono affatto evidenti oppure in cui la dimensione di tale regioni è molto piccola.

Risolvere questi problemi significa fornire uno strumento in più per valutazioni diagnostiche e follow-up di pazienti con malattie specifiche e per l’elaborazione di un loro corretto e sistematico trattamento terapeutico al fine di agire con precisione sulle regioni di interesse, minimizzando i danni a quelle sane circostanti.

Figura 12 – Il talamo è un’area di fondamentale importanza per la trasmissione di impulsi alla corteccia cerebrale. E’ composto da materia grigia e diviso in quattro nuclei principali, ciascuno dei quali è suddiviso a sua volta in sottonuclei. Uno studio accurato e preciso dei cambiamenti nel talamo può essere fondamentale per lo studio di malattie come il morbo di Alzheimer, il morbo di Parkinson e la sclerosi multipla. La sua corretta segmentazione è oggigiorno molto difficile a causa dello scarso contrasto tra le diverse regioni costituenti in immagini RM (centro). L’immagine di destra mostra una segmentazione manuale di tali aree.

 

“Naturalmente, ci saranno sempre quelli che guardano solo alla tecnica, che chiedono “come”, mentre altri di natura più curiosa chiederanno “perché”. Personalmente, ho sempre preferito l’ispirazione all’informazione.”
(Man Ray)

 

Figura 13 - “Ecce homo” restaurato via image inpainting.

Figura 13 – “Ecce homo” restaurato via image inpainting.

 

Ringraziamenti
L’autore desidera ringraziare Kostas Papafitsoros per l’immagine in Figura 3C, Carola-Bibiane Schoenlieb per le immagini delle Figure 1, 3A, 9 e Veronica Corona per l’immagine in Figura 12.

Bibliografia

[1] [2] [3] [4] [6] Aubert, G. and Kornprobst, P. (2006) Mathematical Problems in Image Processing: Partial Differential Equations and the Calculus of Variations, vol. 147, Springer Science + Business Media.

[5] Ambrosio, L., Fusco, N. and Pallara, D. (2000) Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford University Press, Oxford.

[7] Rudin, L.I., Osher, S. and Fatemi, E. (1992) Nonlinear total variation based noise removal algorithms, Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 60, pp. 259–268.

[8] Chambolle, A. and Lions, P.-L. (1997) Image recovery via total variation minimization and related problems, Numerische Mathematik, vol. 76, pp. 167–188.

[9] Bredies, K., Kunisch, K. and Pock, T. (2011) Total generalized variation, SIAM J. Imaging Sc., vol. 3, pp. 492–526.

[10] Arias P., Facciolo G., Caselles V, Sapiro G. (2011) A variational framework for exemplar-based image inpainting

About the Author

Luca Calatroni
Luca Calatroni ha 27 anni e sta completando il suo dottorato presso il Cambridge Centre for Analysis (CCA) e il Cambridge Image Analysis all'Università di Cambridge, UK. Laureato in matematica applicata presso l'Università di Pavia con uno studio di esistenza e unicità per un'equazione alle derivate parziali nonlineare di motivazione fisica, si è poi appassionato all'elaborazione di immagini per via del mix tra la creatività che la matematica del settore richiede e le innumerevoli applicazioni della materia a discipline reali, come per esempio l'ambito medico o biologico. Anche se ormai un po' arrugginito, è diplomato in Pianoforte presso l'Istituto Superiore di Studi Musicali di Pavia.

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